수학황님들 질문하나만요

Question

그냥 순수하게 궁금해서 물어보는거에요

임의의 함수 f에 대해서 f(x+y)=f(x)+f(y)일때 f(x)=kx라고 할 수 있는가? 인데

1) f가 미분가능하다고 주어진 경우

=>미분계수의 정의에다 넣고 때리면 유도 가능.

2) f가 연속이라고 주어진 경우

=>먼저 f(nx)=nf(x)를 보일 수 있고 양변을 nx로 나눠서 f(x)/x=g(x)라 하면 g(x)=g(x/n)=g(x/n^2)...에서 n 무한대로 보내면 g(0)이고 연속이라서 g(x)=k 따라서 f(x)=kx

3) f가 그냥 "임의의" 함수인 경우

=> ????

3번 케이스 어떻게 풀어요? 아니 어떻게 풀어요가 아니라 f(x)=kx가 되긴 되나요? 직관적으론 안될거같은데 반례를 못 잡겠어서 어떻게 증명이 되나 싶기도 하고...

수학평가원빌런 · Accepted Answer

모든 'x에 대한 n차 다항식'들의 집합을 P_n이라 합시다.
f : P_n -> P_(n-1) 에 대하여 f(p(x))=p'(x)라 하면
임의의 x에 대한 n차 다항식 p, q에 대하여
f(p+q)=f(p)+f(q)를 만족시키네요. (단, n은 자연수)

사실 어떻게 생각하면 위 함수도 f=kx꼴이라고 할 수 있기는 하지만.. 자세한 내용은 선형대수학의 linear operator와 관련이 있으니 한번 찾아보세요!

First Order · Answer

수학평가빌런님 예시 말고 실수가 정의역인 집합에서 봐도,  연속이 아니면 f(x) = kx일 필요가 없습니다.

수학황님들 질문하나만요

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