자작 문제 투척 처녀작입니다. ebs 반영 문항
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좀더 자극적 제목으로..
처녀작이란 표현이 문제가 된다면 시정하겠습니다.
f(x+y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y) , f(1)=3 을 만족하는 미분가능한 함수 f(x)가 있다.
A = {0, 1, 2, 3} 에서 중복을 허락하여 세 수 a, b, c를 뽑았을 때,
a + b + c 는 1보다 크거나 같고 5보다 작거나 같다고 한다.
B = { n | af(1) + bf(2) + cf(3) + a + b + c = n }에서 n(B) = ?
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이시간에는 사람이 없네요..
아 푸는 시간 계산 안해서 비추먹은건가..
조회수 보고 그런건데.. ㅜㅜ
풀까말까 고민하다가 ㅋㅋㅋ 연습장 꺼내느라 시간이 좀 걸렸네요
43, f(x)가 미분가능한 함수라는 조건은 딱히 필요가 없는 듯 싶네요.
정답!
어떻게 푸셨는지 여쭤도 될까요?
f(1)과 f(2), f(3)은 우선 대입의 방법으로 간단히 구해집니다.
그렇게 구한 다음 대입하면
B = { n l 4a + 16b + 64c = n }이 되는데요.
여기에서 a, b, c는 각각 0~3 사이의 값을 가집니다.
따라서 4a와 16b, 64c는 절대 겹치는 구간을 가지지 않아요.
그러므로 a + b + c가 1이상, 5이하로 되는 a, b, c를 선택하는 경우의 수만 구하면 됩니다.
문제의 아이디어는 ebs 수능완성 적통 54p 8번 문항입니다.
내용 영역 쪽으로는 수학 함수 단원과 수1의 지수로그 함수 or 교과서에는 없지만 4진법으로도 볼 수 있습니다.
행동 영역 쪽으로는 식을 간단히 하는 계산능력, 수학적 표현을 교환하는 이해능력, 두 단계 이상의 사고과정이 필요한 수학 내적 능력을 평가하기 위한 문제입니다.
1,5,20의 길이에서 4, 16으로 바꿔도 문제의 본질적 내용은 해치치 않는다는 점에 착안
처음에는 4진법 문제로 제작 예정이었으나 진법이 교과서에 자세히 설명되어있지 않아서
수1 지수 함수의 정의역이 정수일때, 각 함수값의 합이 진법과 유사한 형태를 갖는다는 점에서
지수 함수를 이용하였습니다.
보기의 함수는 간단한 함수방정식의 경우에 쉽게 파악하는 경향이 많아 살짝 꼬아보았습니다.
함수를 파악한 뒤에는 간단한 경우의 수 문제로 풀 수도 있고, 4진법의 갯수 중 각자리 값의 합이 6이상인 것을 빼는 방법으로도 풀이가 가능하도록 출제했습니다.
간단한 해설 + 수정이 필요했던 이유
강남대성 학생들에게 검토를 부탁한 결과 문제가 산만하여 이해가 쉽지 않다는 의견 반영
아직도 복잡하긴 합니다.. 제 한계..
또한 함수방정식이 미분가능한 함수에서 성립하므로 미분가능한 이라는 어구 추가
+ 편미분 또는 미분계수의 정의를 이용한 풀이도 보였음
+ 미분가능이라는 어구 없이도 문제를 해결할 수 있음, 점화식을 이용 발견적 추론을 통해
sol) 위의 준식에 양변에 +1을 해주고 묶어보면 f(x+y) +1 = {f(x)+1}{f(y)+1} 이고,
g(x) = f(x) +1 로 치환하면 g(x)는 지수함수임을 함수방정식을 통해 알 수 있습니다.
f(1) = 3 을 이용하면 g(x)=4^x 임을 알 수 있고
B의 조건 제시법의 식은 ag(1) + bg(2) +cg(3) 으로 변환이 가능하고,
이때 a,b,c 는 4보다 작으므로 n의 값은 중복이 생기지 않습니다.
4H3 에서 0,0,0 a+b+c>=6 인 a,b,c 를 빼주면 43가지가 나옵니다.
미리만든 해설과 추가 전달하고픈 내용입니다
가장 효율적 풀이를 하셨네요!
아, 진법의 개념을 이용했군요. 제 풀이가 이 방법이랑 비슷한 것 같네요.
편미분이 뭔지는 나형 응시생이라서 잘 모르겠습니다.
나형 응시생이시면 그렇게 푸시는 것이 맞아요
가형 응시생이 오히려 헤메는 문제가 될거같군요..
소감 : 나형 응시생이지만 한번 풀어보고, 생각해볼만한 문제네요.
네 그런의미로 생긴 말인데, 여권운동이 활발해지면서 많이 사용이 줄엇죠...
46? ㅠㅠ 틀렸을듯
43입니다.
처녀작이란 표현이 문제가 된다면 시정하겠습니다.
f(x+y) = f(x)f(y) + f(x) + f(y) , f(1)=3 을 만족하는 미분가능한 함수 f(x)가 있다.
A = {0, 1, 2, 3} 에서 중복을 허락하여 세 수 a, b, c를 뽑았을 때,
a + b + c 는 1보다 크거나 같고 5보다 작거나 같다고 한다.
B = { n | af(1) + bf(2) + cf(3) + a + b + c = n }에서 n(B) = ?
밑에는 스포일러성 글이니 풀어보실 분은 풀어보시고 내려보시길 바랍니다.
문제의 아이디어는 ebs 수능완성 적통 54p 8번 문항입니다.
내용 영역 쪽으로는 수학 함수 단원과 수1의 지수로그 함수 or 교과서에는 없지만 4진법으로도 볼 수 있습니다.
행동 영역 쪽으로는 식을 간단히 하는 계산능력, 수학적 표현을 교환하는 이해능력, 두 단계 이상의 사고과정이 필요한 수학 내적 능력을 평가하기 위한 문제입니다.
1,5,20의 길이에서 4, 16으로 바꿔도 문제의 본질적 내용은 해치치 않는다는 점에 착안
처음에는 4진법 문제로 제작 예정이었으나 진법이 교과서에 자세히 설명되어있지 않아서
수1 지수 함수의 정의역이 정수일때, 각 함수값의 합이 진법과 유사한 형태를 갖는다는 점에서
지수 함수를 이용하였습니다.
보기의 함수는 간단한 함수방정식의 경우에 쉽게 파악하는 경향이 많아 살짝 꼬아보았습니다.
함수를 파악한 뒤에는 간단한 경우의 수 문제로 풀 수도 있고, 4진법의 갯수 중 각자리 값의 합이 6이상인 것을 빼는 방법으로도 풀이가 가능하도록 출제했습니다.
간단한 해설 + 수정이 필요했던 이유
강남대성 학생들에게 검토를 부탁한 결과 문제가 산만하여 이해가 쉽지 않다는 의견 반영
아직도 복잡하긴 합니다.. 제 한계..
또한 함수방정식이 미분가능한 함수에서 성립하므로 미분가능한 이라는 어구 추가
+ 편미분 또는 미분계수의 정의를 이용한 풀이도 보였음
+ 미분가능이라는 어구 없이도 문제를 해결할 수 있음, 점화식을 이용 발견적 추론을 통해
sol) 위의 준식에 양변에 +1을 해주고 묶어보면 f(x+y) +1 = {f(x)+1}{f(y)+1} 이고,
g(x) = f(x) +1 로 치환하면 g(x)는 지수함수임을 함수방정식을 통해 알 수 있습니다.
f(1) = 3 을 이용하면 g(x)=4^x 임을 알 수 있고
B의 조건 제시법의 식은 ag(1) + bg(2) +cg(3) 으로 변환이 가능하고,
이때 a,b,c 는 4보다 작으므로 n의 값은 중복이 생기지 않습니다.
4H3 에서 0,0,0 a+b+c>=6 인 a,b,c 를 빼주면 43가지가 나옵니다.
ㅎㄷㄷ 함수를 그렇게 볼 수도 있었구나..
다시 보니까 계산이 틀려서 3이 더 나왔네요..
전 그냥 대입해서 f(2)=15, f(3)=63 구하고 B에 대입해서
4(a+4b+16c)=n인데 n은 중복 안 되니까
1~5 사이에 가능한 a b c 중복조합 수
(3 2 0) (3 1 0) (2 1 0) : 3가지 곱하기 a, b, c 각자에게 나눠주기 3! = 18
(3 1 1) (3 0 0) (2 2 1) (2 2 0) (2 1 1) (2 0 0) (1 1 0) (1 0 0) : 8가지 곱하기 a, b, c 각자에게 나눠주기 3!/2! = 24
(1 1 1) 1가지 곱하기 a, b, c 각자에게 나눠주기 1 = 1
해서 43 나왔는데.. 너무 힘들게 구한듯 ㅠㅠ