미분으로 부등식 증명 좀 부탁드립니다

Question

a>0 , b>0일 때, 부등식 aln(1+a) + e^b > 1 +ab + b를 증명하여라 입니다.
[aln(1+a)은 a 곱하기 (1+a)의 자연로그 입니다]

문제 풀이는 a,b 모두 변수로 생각하지 말고
한 문자만을 변수로 생각하여 해결 하는 것인데요

b를 변수 x로 보면 쉽게 풀리는데

a를 변수 x로 보면 f'(x)=0인 x가 구해지지가 않아
풀이에 진행되지 않습니다.
도와주세요

sos440 · Accepted Answer

굳이 a를 변수로 해서 풀어야 할 이유라도 있나요...? ln(1+a) + a/(1+a) - b = 0 은 일반적으로 a에 대하여 풀 수 없습니다. 정확히 말하자면, 우리가 아는 함수들로 a를 b에 대해 표현할 수가 없습니다. 굳이 가시밭길을 걸어가느니 차라리 잘 피해가는 게 더 좋을 것 같은데 말이지요...

뭐 굳이 풀어보자면

f(x) = xln(1+x) + e^b - 1 - bx - b

로 둡시다. 그러면

f'(x) = ln(1+x) + x/(1+x) - b

이고, 한번 더 미분하면

f''(x) = 1/(1+x) + 1/(1+x)^2 > 0

입니다. 따라서 f'(x)는 순증가함수이고, f'(0) = -b < 0 이므로, f'(a) = 0 을 만족시키는 a가 유일하게 존재하며, x = a 에서 f(x)가 최소값을 갖습니다. 그런데 ln(1+a) + a/(1+a) - b = f'(a) = 0 이므로, b를 a에 대해 표현할 수 있고, 이 경우

f(a)
= aln(1+a) + e^b - 1 - ba - b
= aln(1+a) + (1+a)e^(a/(1+a)) - 1 - (1+a)(ln(1+a) + a/(1+a))
= (1+a)(e^(a/(1+a)) - 1) - ln(1+a)

입니다. 이제 이 값이 0보다 큼을 보이기 위하여, 새로운 함수

g(x) = (1+x)(e^(x/(1+x)) - 1) - ln(1+x)

를 도입합시다. 그리고 귀찮은 계산을 통해 g'(x)를 직접 계산해보면, x > 0 일 때

g'(x) = (2+x)(e^(x/(1+x)) - 1)/(1+a) > 0

임을 알 수 있습니다. 따라서 g(x)는 순증가함수이고, g(0) = 0 이므로, x > 0 일 때 g(x) > 0 가 성립합니다. 특별히 a는 양수이므로, f(a) = g(a) > 0 이고, 이로부터 f(x) > 0 이 임의의 양수 x에 대해 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 증명되었습니다.

미분으로 부등식 증명 좀 부탁드립니다

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