아무도 안 풀 것 같아서 달아 본 풀이

Question

1번 풀이. 주어진 극한을 직접 계산해봄으로써, 다음 식이 성립함을 압니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(x)%20=%20\left\{\begin{matrix}%20f(x)%20&%20\text{if%20}%20|f(x)|%20%3E%201\\%20\frac{1}{2}(f(x)%20+%20x^2)%20&%20\text{if%20}%20|f(x)|%20=%201\\%20x^2%20&%20\text{if%20}%20|f(x)|%20%3C%201%20\end{matrix}\right.$

이제 위의 식과 문제 조건을 통해서 y = f(x) 에 대한 정보를 파악해봅시다. 우선 (1)번 조건으로부터

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)%20=%20ax^4%20+%20bx^2%20+%20c%20\quad%20(a%20\neq%200)$

로 적을 수 있다는 것을 압니다.

또한 위 함수의 그래프는, y = ±1 을 기준으로 해서 이 띠 사이에서는 y = x^2 의 그래프를 그리고, 띠 밖에서는 y = f(x) 의 그래프를 그린 것과 같습니다. 그러므로 직관적으로 우리는 (±1, 1)에서 두 함수의 그래프가 만나며, 미분가능하도록 조절되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.

물론, 이 사실은 증명도 가능합니다. 문제풀이에서 증명까지 하고 있을 수는 없겠지만, 논리적인 증명이 필요하시다면 녹색으로 처리된 부분을 읽어보세요. (필요 없다면 녹색 부분을 건너뛰셔도 됩니다.)

(2)번 조건으로부터, 만약 f(x) = -1 이 되는 지점이 존재한다면, 그 지점에서 g(x)가 미분가능은커녕 불연속이 됨을 알 수 있습니다. 따라서 항상 f(x) > -1 이 되어야 하고, 특별히 y = f(x)는 최고차항인 a가 양수임을 알 수 있습니다.

한편, (3)번 조건에 f(x)의 부정적분에 평균값 정리를 때려봄으로써 (0, 1) 사이에 f(p) = 3/5 를 만족하는 p가 존재함을 알 수 있습니다. 이는 x = p 의 근처에서 |f(x)| < 1 임을 의미하며, 따라서 f(x) = 1 을 만족시키는 지점이 존재함을 의미합니다. 그런데 만약 f(q) = 1 이라면 g(x) 가 x = q 에서 연속이 되어야 하며, x = q 의 근처에서 g(x)의 그래프는 부분적으로 x^2 이거나 f(x) 이므로, x→q 일 때 x^2 → g(q) 이거나 f(x) → g(q) 가 되어야 합니다. 그리고 둘 중 어떠한 경우에도 q^2 = 1 이 나옴을 알 수 있습니다.

그러므로 f(x) = 1 이 되는 지점은 오직 x = ±1 뿐이며, |x| < 1 이면 g(x) = x^2 이고 |x| > 1 이면 g(x) = f(x) 입니다.

이제 x = ±1 에서 g(x)가 미분가능하도록 a, b, c 의 조건만 맞춰주면 됩니다. 사실 y = x^2 과 y = f(x) 모두 y축 대칭이므로, x = 1 에서의 조건만 맞춰주어도 충분합니다. 그러면 x = 1 에서의 두 함수의 값과 미분계수값만 맞춰주면 되므로,

f(1) = 1, f'(1) = 2

라는 식을 얻고, 이 식을 풀면

a = c, b = 1 - 2c

를 얻습니다. 이제 이 조건을 f(x)에 대입하고 (3)번 조건을 활용하면 c를 결정할 수 있고, c = 1/2 가 나옵니다. 이로부터

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)%20=%20\frac{x^4%20+%201}{2}$

를 얻고, 따라서 f(3) = 41 입니다.

2번 풀이. 이 문제는 매우 간단합니다. (1)번 조건으로부터 f(0) = 1, f'(0) = 3 임을 알 수 있습니다. 한편 (2)번 조건의 양 변을 두 번 미분해봄으로써

f''(x)f(-x) - 2f'(x)f'(-x) + f(x)f''(-x) = 0

임을 얻고, 여기에 x = 0 을 넣어 정리하면 f''(0) = 9 를 얻습니다.

문과적인 풀이는 아니지만, 심화미적을 배운 분은 꼼수를 쓸 수 있습니다. 바로

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)%20=%20e^{3x}$

를 대입해보는 것입니다. 이 함수는 (1)번과 (2)번 조건을 모두 만족시키며, 두 번 미분해보면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%27%27(x)%20=%209e^{3x}$

이므로, x = 0 을 넣으면 9를 얻습니다. (물론, 위 함수만이 유일한 해는 아닙니다.)

애플파이­ · Accepted Answer

첫번째 문제 풀이가 흥미롭네요 적분의 평균깂정리는 미적분학 책에 있던데 ㅋㅋ 
재미있는 문제였네요

아무도 안 풀 것 같아서 달아 본 풀이

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