미분과 연속문제 3개. 왜 틀렸는지 좀요 ㅠ

Question

두함수 f(x),g(x)가 x=a에서 연속일때 x=a에서 항상 연속인 함수 찾기인데요

(단, f(x)의 치역은 g(x)의 정의역에 포함된다.)

g(f(x))가 안되는 이유가

lim(x→a) g(f(x)) = g(f(a)) 이므로 g(f(x))가 x=a에서 연속이려면 g(x)가 x=f(a)에서 연속이여야한다.

라고 나와있는데요.

다른 문제집 이론에 보면

두함수 f(x),g(x)가 x=a에서 연속일때

f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함된다면 g(f(x)) 는 연속이다. 라고 나오는데 뭐죠 ㅠ

그리고 g(x)가 x=f(a)에서 연속이다.

라는게 f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함되고 g(x)는 연속이다랑 같은말 아닌가요?

그럼 맞는거 아닌가요?

뭐가 틀린거죠?

그래프로도 그려보면.

이런 식으로 f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함되고

두개다 연속하니깐 임의의 a에 대해 만족 할 수 있는거 아닌가요?( 그래프는 제가 그냥 지어낸거.)

두번쨰는.

연속함수 f(x)에 대해 f(1)=a-2, f(3)=a-6 일떄,

구간(1,3)에서 실근을 갖도록 하는 정수의 범위인데요

원래 풀이는 f(1)f(3)<0 이라하고 (a-2)(a-6)<0 이렇게 두는데요

저걸 위에 f(1)f(3)<0 이걸 풀어서 보면 f(1)>0, f(3)<0 or f(1)<0, f(3)>0 이런말 아닌가여?

f(1)>0, f(3)<0 은 풀면 2<a<6 이렇게 답이 나오는데

근데 왜 f(1)<0, f(3)>0 을 풀면 a<2, a>6 같은 이상한 범위가 나오는 거죠? ㅠ

엄연히 f(1)<0, f(3)>0 도 곱하면 음수 인데. 뭐져...

제가 어디서 착각하고 있는건지 ㅠㅠ

마지막으로.

연속함수 f(x)에서

lim(h→0) {f(h)-(-h)}/h=0 이면 f'(x)=0 이다 는 거짓인데

lim(h→0) f(h)/h=0 이면 f'(x)=0 이다 는 왜 참이죠?

첫번째꺼는 반례로 lxl 를 쓸 수 있고 두번째껀 왜 lxl 가 반례가 안되는거예요?

제가 바보라서 좀 자세하게 설명해주세요 ㅠㅠ

undisputed · Accepted Answer

두번째 문제 설명드리자면,
f(1) = a-2 , f(3) = a-6 에서 보다시피 a가 어떤 수든 f(1) > f(3) 이므로, (이부분을 헷갈려 하신듯 합니다)
조건 세우신것처럼 f(1) < 0 , f(3) > 0 이라는 조건은 애초부터 세울 수가 없습니다.
(f(1) 이 f(3) 보다 작다는 의미이므로)

undisputed · Answer

세번째 문제에서 거짓의 경우에는,
말씀하신 것처럼 f(x) = lxl 를 반례로 들 수 있습니다.
그 이유는 f(x) = lxl 일 때, f(h) - f(-h) = 0 이 되기 때문입니다. (분모의 h나 lim(h->0) 상관없이)
따라서 lim(h->0) {f(h) - f(-h)}/h = 0 이기는 하지만, f'(0) = 0 이 아니므로 거짓이 되는거죠. (f(x) = lxl 가 f'(0) =0 이 아닌건 아시리라 봅니다.)
참의 경우에는, lim(h->0) f(h)/h=0 이라는 의미가 곧 f'(0) = 0 이라는 의미와 같습니다. (거의 정의와 같습니다)
이 부분은 아직 정의를 확실히 하지 못하신 것 같네요.

undisputed · Answer

첫번째 문제는 이해가 잘 안갑니다만..
님이 그리신대로만 보면 g(f(x)) 가 연속이 맞아 보입니다.
말씀하신 "두함수 f(x),g(x) 가 x=a에서 연속일때 f(x) 의 치역이 g(x) 의 정의역에 포함된다면 g(f(x)) 는 연속이다." 는 맞는 말이구요.
혹시라도 x=a라는 점이 그래프에 표시되지 않은 임의의 점이라면 모르지만, 각 함수 그래프에 표시되어 있는 상황이라면 g(f(x)) 는 연속이라 보는게 맞는거 같네요.
(제가 모르는 걸수도 있겠지만...)

미분과 연속문제 3개. 왜 틀렸는지 좀요 ㅠ

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