실력정석 수2에서 미분과 치환에 대해

Question

실력정석 수2에서 미분과 치환에 대해

211페이지 11.극대극소와 미분 단원 유제 11-26의 해설에서
"증감을 조사하거나 극값을 구하는 경우는 치환하여 풀 수 없다."
라고 했습니다.

근데 233페이지 12.최대최소와 미분 단원의 필수 예제 12-1에서
최대,최소를 구하기 위해 미분하고 증감, 극값을 조사하는데
치환하여 미분하고 증감, 극값을 조사합니다.

뭐죠

11단원에서는 안 된다고 하고
12단원에서는 그냥 해버리고 ㅡㅡ

sos440 · Accepted Answer

모든 치환에 대해 가능한 건 아니지만, 일부 치환에서는 가능합니다. 구체적으로,

(1) t = f(x)가 일대일 대응이고 증가함수이면 증감과 극대, 극소를 조사하는 것이 가능.
(2) t = f(x)가 일대일 대응이고 감소함수이면 극대, 극소를 조사하는 것이 가능하며, 원래함수와 증감은 뒤바뀐다.

가 성립합니다.

sos440 · Answer

첫 번째의 경우 증감을 바꾸지 않으면서 쓸 만한 적절한 치환이 없습니다. (아니면, 설사 있어도 굳이 그걸 이용하지 않는 편이 여러모로 현명합니다.)

하지만 (2)의 경우 최대최소를 조사하는 것이기 때문에 증감을 조사할 필요가 없습니다. 함수값이 변화는 범위만 바꾸지 않는다면 치환을 하든 뭘 하든 상관 없다는 거죠.

사실 어려운 말 쓸 필요도 없이, 우리가 왜 치환을 하는지를 생각해보면 어떤 때 치환을 쓰는 것이 편하고 어떤 때가 아닌지 알 수 있습니다.

치환이라는 것은 말 그대로 변수를 바꾸는 것으로, 엄밀히 말하자면 원래 함수를 다른 함수로 비트는 것입니다. 예를 들어서 f(x) = sinx cos²x 에서 t = sinx 로 치환한다는 것은, 사실상 새로운 함수 g(t) = t(1 - t²) 를 생각하고 f(x) = g(sinx) 로 쓰겠다는 것과 같은 말이지요.

이때 이러한 변형으로 우리가 원래 함수 f에 대해서 찾고자 하는 정보를 얼마나 쉽게 끄집어낼 수 있느냐가 관건입니다.

두 번째 문제의 경우 f(x) = g(sinx) 에 의해 f(x)의 최대값, 최소값과 ([-1, 1] 위에서의) g(t)의 최대값, 최소값이 일치하기 때문에 치환을 해도 큰 문제가 되지 않습니다.

그러나 예를 들어서, 이 문제가 최대최소가 아니라 증감을 조사하는 문제라고 합시다. 그러면 우리는 f'(x)를 들여다봐야 합니다. 그런데 치환 t = sinx 에 의하면

f'(x) = g'(sinx)cosx

가 성립하고, cosx 라는 항 때문에 우리는 g'(sinx) = g'(t) 만으로 f'(x)의 부호를 결정할 수 없습니다. 물론 억지로 cosx 의 부호를 따져가면서 풀려고 하면 풀 수는 있습니다. 굳이 그렇게 풀려는 분이 있다면 말리진 않겠습니다만, 이렇게 푸는 건 낭비라는 것이지요. 그래서 정석에서는 치환을 지양한 것입니다.

실력정석 수2에서 미분과 치환에 대해

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