이차곡선 접선방정식 미적 질문좀!!...
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제가 미적통계기본하는데
개념이해가잘안돼서요...
x^2 + y^2 = 5 위의 점 (1,2)에서 이원에 접하는 직선의 방정식을 구하라는
문제를 푸는데요..
풀이를 보면 양변은 x에 관하여 미분하라하던데
x에 관해서 미분한다는게 무슨의미인지잘모르겠어요...
여기서 x^2에 대해서 미분하면 어떻게되는거져??..
제가 일반적으로 공부한 개념들이 기본적으로 다 x에관하여 미분한것들인가여??
그리고 또하나궁금한건 저기서 y^2을 x에 대해서 미분했을때 2y(dy/dx) 가 되는데...
이 dy/dx는 f'(x)이고 f'(x)가 의미하는게 f(x)를 x에대하여 미분한다는 건데....여기서 f(x)는 뭐가되야하져...
아헷갈....ㅠ.ㅠ
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후후
이 문제에서 주의해야 할것은
x^2 + y^2 = 5 가 함수가 아니라는겁니다.
함수의 특성상 정의역 하나당 치역하나씩 할당되야하는데 이 식에선 2개씩도 할당되죠.
풀이는 대체적으로 두가지로 나눌수있습니다.
1. ax+by+c=0과 원의방정식을 조합해서 근의 유일성 및 접하는 조건을 따져서 구하는방법
2. x^2+y^2=5 에 접하는 x=t상의 한점의 기울기를 구하고 그 지점의 y값을 넣어 직선의 방정식을 따지는 방법
2번의 연장을 써드리면, d x^n /dx = nx^(n-1)이기에,
양변을 x에 대해 미분하면, 2x + 2ydy/dx =0 입니다. 이때, y를 치역으로, x를 정의역으로 갖는 함수 f(x)가 설정될수 없기에, dy/dx=f'(x)라는 성급한 생각은 하시면 안됩니다 ㅡ 물론 구간별로 나누면 할수있습니다만.. 무리함수의 미분을 미통기에서 배우는지 모르겠습니다.
dy/dx=-2x/2y=-x/y임을 알수있고 이때의 x,y는 (1,2)로 dy/dx=-1/2임을 알수있습니다.
이를 통해 원에 접하는 직선의 방정식이 y=-x/2+5/2임을 알수있습니다.
이는 1x+2y=5 라는 통상적인 원의 접선의 방정식을 구해 얻는 해와 같음을 알수있습니다.
근데 y^2을 x에 관해서 미분하면 왜 2ydy/dx 이 되나요??...그 합성함수의 미분공식인건 알겠는데
y^2을 왜 합성함수로봐야하는지~?~
y^2의 자체변화량인 2y와 x에 관해서 미분했으므로 x에 관한 y의 변화량을 곱해야 비로소 x에 관한 변수 y에 변화량이 나옵니다
쉽게 말해서 일반적인 R함수 y = f(x)
일때 dy/dx = f'(x)이잖아요 이말 뜻은 x에 관한 y의 변화량입니다
위식에서도 마찬가지로 y^2 -> 2y로 변해가고 y자체는 dy/dx로 변해가기 때문에 그렇습니다 따라서 두 식을 곱하는 것입니다