야밤에 심심해서 던져보는 도전 문제

Question

고등학생이 풀 수 있으면서도, 방향을 잘못 짚으면 대학생이라고 딱히 풀기 쉽지 않은, 그런 문제를 하나 우연히 찾아서 한번 던져봅니다.

문제) 한 변의 길이가 3인 정사각형 ABCD가 있다. 이 정사각형의 중심을 O라고 하고, 이 정사각형의 둘레, 즉 네 선분 AB, BC, CD, DA 로 이루어진 도형을 P라고 하자.
이때 이 정사각형 내부에 속한 점 중에서 P와의 거리보다 O와의 거리가 더 가깝거나 같은 점들을 모두 모아서 만든 도형의 넓이는 어떤 두 정수 a, b에 대하여 a + b√2 로 주어진다.
이때 b - a 의 값을 구하여라.

도형의 모습이 잘 상상이 안 가시는 분들을 위한 힌트로, 직접 도형을 그려서 파일로 올려봤습니다.

참고로 이 문제는 미국에서 가장 유명한 대학교 학부레벨 수학경시대회인 Putnam의 1989년 B1 문제를 변형한 것입니다.

샤나 · Accepted Answer

초점이 정사각형의 두 대각선의 교점이고, 준선이 정사각형의 각 변이 되는 4개의 포물선이 위에 있는 4개의 곡선이고, 그 넓이를 적분으로 구하면 되겠군요.

콘실크 · Answer

포물선의 정의 문제네요. 
정사각형의 두 대각선을 그어서 영역을 네개로 만든 후 각각의 영역을 살펴보면, 
P까지의 거리는 해당 영역이 끼고 있는 변까지의 거리가 되면서
'P와의 거리보다 O와의 거리가 더 가깝거나 같은 점들을 모두 모아서 만든 도형'은 포물선과 연관이 되면서
제시하신 파일같은 그림이 그려집니다.
이제 넓이를 구하면되는데, 별다른 방법이 있는지 잘 모르겠네요. 저라면 교점을찾고 적분을 어떻게든 할것같아요.

Flash · Answer

교육청 기출 + 정석연습문제 + 각종 사설 기출 + 각종 문제집에 실린 흔한 문제죠.
착상이 어려운 게 아니라, 적분 계산이 짜증나는 문제.

야밤에 심심해서 던져보는 도전 문제

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