정의적으로 수학에 뛰어나신 분들 좀 도와주세요 ㅠ

Question

야심한 밤에 대학친구와 수학에 관련되서 토론을 좀 했는데, 결론이 제대로 나지가 않아서 다른 분들의 의견을 좀 들어보고 싶습니다!...

토론의 내용은 aaa라는 알파벳의 배열이 있다고 할 때, 수학적으로 볼 때, 사용된 서로 다른 알파벳의 개수를 1로 보는 것이 맞는가 아니면 0으로 보는 것이 맞는가? 입니다.

표본공간 구성과 관련되서 논쟁이 붙은 거라 사실 어떻게 해도 같은 답이 나오긴 하는데, 궁금해져서 질문을 올려 봅니다. 저는 서로 다른 알파벳의 개수니까 a 세개는 같은 알파벳이 사용된 것이니 당연히 0으로 봐야 하는 거 아니냐고 주장했고, 친구는 고등학교 때 문제를 푼 경험상 이런 경우는 종류로 생각해서 a 한 종류가 쓰였으니 1로 보는 것이 맞다고 주장했습니다.

아린 · Accepted Answer

헛 오랜만이에요

Aptic · Answer

확률에서 A라는 문자가 서로 같음 이라는 조건이 없으면 무조건 서로 다른것으로 봐야한다고 알고있어요. 이유가 정확하게는 뭔지 모르겠는데 이번 9월 모의 해설듣다보니 그런거같더라구여

EPINOKi · Answer

사실 질문하신 부분은 수학적인 부분이라기 보다는 2000여 년 전 고대 그리스의 소피스트들이나 할 법한 언어적인 말장난이라고 생각합니다.. '서로 다르다'는 말의 정의를 어떻게 내리느냐에 따라 달라질텐데, 수학 교과서가 국어 사전도 아니고.. 다 알겠거니 하고 넘어가지 그런 어휘 하나하나에 일일이 정의하지는 않죠.

그래서 저는 이 용어의 실례를 통해 '서로 다르다'라는 어휘가 어느 상황에서 사용되는지를 먼저 알아볼까 합니다.

우리의 뇌리 속에 남아있는 가장 인상적인 '서로 다르다'는 이차방정식일 텐데, 교과서를 비롯한 일반적인 참고서에서는 '이차방정식의 근의 개수'와 관련하여 다음과 같이 설명라고 있습니다.

(1) 서로 다른 두 실근을 갖는다.
(2) 한 개의 실근을 갖는다.(중근)
(3) 서로 다른 두 허근을 갖는다.

이에 따르면 교과서는 (x-a)(x-b)와 (x-a)^2을 다른 상태로서 파악하고 있는 셈입니다. 이러한 교과서를 구성한 집필진이 질문하신 부분을 본다면, 0이라고 대답할 확률이 상당히 높겠죠.

언어적으로 봐도 마찬가지입니다. '서로 다르다'라는 술어는  두 자리 서술어입니다. '사과와 배가 다르다'라고 하지, '사과가 다르다'는 말은 쓰지는 않습니다. 이는 비문입니다. 

그런데 질문자 분의 친구분께서는 왜 답이 1이라고 했는가? 그리고 우리가 어째서 이에 확실하게 아니라고 답할 수가 없는가? 다음과 같은 말도 안 되는 문제 때문에 그렇습니다.

1. x=-1의 해를 구하시오
2. 이 때 나오는 모든 해의 합을 구하시오

당연히 답은 -1입니다. 이게 우리에게 강렬한 인상을 준 겁니다. '해가 하나인데 어떻게 합을 구하지..? 더하기는 서로 다른 것을 더할 때 쓰는 건데? 아 저런 문제가 나오면 그냥 하나라도 있는 걸 쓰면 되겠구나!'

위의 결론이 문제가 되는 이유는

1. '나올 수 있는 모든'과 '서로 다른'이라는 술어는 엄연히 다른 술어입니다. 전자는 답이 1일 수도 있죠.
2. 사실 저 부분은 시그마로 표시하면 해결할 수 있는 문제입니다. (An=방정식의 해)표현하면 시그마 i는 1부터 1까지 갈 때 An의 값으로서 나타낼 수 있습니다.

따라서 개인적인 의견입니다만 질문하신 부분에 대해서 0이라고 답하는 편이 훨씬 타당하다고 생각합니다.

Delta · Answer

표본공간 잡을때의 목적이 뭔지가 궁금하네요 그러면 표현적인 문제는 명확하게 고치면 되는거니까여
아니면 그냥 샘플링 자체가 목적인가요?
0일때랑 1일때랑 statics 차이가 꽤 클것같아서여

해석적으로는 저도 윗분말대로 "서로 다른"에서는 상대적인 비교의 의미가 들어가서 모두 같은 경우는 상대적인 비교가 불가능해서 0개가 된다고 생각됩니다

정의적으로 수학에 뛰어나신 분들 좀 도와주세요 ㅠ

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