이차곡선문제입니다

Question

이차곡선문제입니다 앞에서 대충말씀하셨는데 그렇게 해봐도 알수가없네요다시 문제올림니다 아시는분 자세한 풀이부탁해요..문제는 파일첨부합니다

longtime · Accepted Answer

조금 복잡하네요. 풀이는 써드리는데 수능,평가원에는 절대 나오지 않는다는것..

A를 (a,b) , B를 (c,d)라고 잡았구요
A의 접선의방정식의 기울기가 3/b니까 법선의 기울기가 -b/3이네요. 
 y=-b/3 (x-a)+b에서 x축과의 교점 P를 구하면 (a+3,0)이 나옵니다
B의 법선의 방정식의 x축과의 교점 Q도 똑같이 (c+3,0)이 나오겠죠?       그럼 문제에서 구하라고 한건 1/(9+b^2) + 1/(9+d^2)입니다. 통분하면 18+b^2+d^2 / 81+b^2+d^2+(bd)^2이 나오네요
근데 (a,b) (3/2,0), (c,d)가 한 직선위에 있으니  b/(a-3/2)=d/(c-3/2)가 나오구 b(c-3/2)=d(a-3/2)에서  b^2=6a, d^2=6c에서 a,c를 대입하면 bd=-9가 나오네요. 그럼 (bd)^2=81
18+b^2+d^2 / 81+b^2+d^2+(bd)^2에 대입하면 분모가 분자의 9배가 되네요. 1/9  3번

혹 더 간단한 풀이가 있다면 다른 분께서 해주실거에요

엘러리 · Answer

이런식으론 이런 류의 문제밖에 풀지 못하겠지만 간단히 적어보면

초점이 3/2임을 이용해서 직선 AB를 x=3/2 과 포물선의 교점으로 둡니다. 임의의 현이니까요.

점 A ,B 에서의 법선이라니 두 점에서의 접선을 구해서 하면 되겠죠? 먼저 두 식을 연립해서 A와 B의 

좌표를 구하면 각각 A(3/2,3) , B(3/2,-3)임을 쉽게 알수 있습니다. 이제 A,B에서의 접선의 방정식을 구하고

법선의 방정식을 구하면 됩니다. 하실수 있죠? 여긴 생략할게요. 

그래서 나오는 P,Q는 당연히 동일한 점이겠고

구해보니 (9/2,0)네요.  이제 답만 구하면 1/9 3번 나오네요.

은미르 · Answer

longtime님 풀이로 접근해보니 이해가 됩니다 
감사합니다

이차곡선문제입니다

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