수리 미적분 질문좀 받아주세요 !!!제발 ㅠㅠ

Question

독학하는 학생이라 질문할 곳이 여기밖에 없어요..ㅠㅠ미적분 질문인데요제가 궁금한건 보기 ㄴ 입니다.해설강의들을 보아도 ㄴ 을 풀 때 좌미분계수와 우미분계수가 0으로 같으니까미분가능하다 이런식으로 넘어가던데 미분가능하기 위해선 1.연속 2.좌미분계수=우미분계수이렇게 두가지 조건을 모두 충족시켜야 하는것 아닌가요?왜 연속인지 아닌지는 따지지 않죠??문제에 g(x)가 다항함수라는 말이 있는것도 아닌데 말입니다 ㅠㅠ아무리 고민해봐도 모르겠습니다(f(x)값 대입해서 g(x)함수에서 x=1일때의 좌우 함수값 구해보면 서로 다르게 나와서요..)답변해주시면 정말 감사하겠습니다~

sos440 · Accepted Answer

간단하게 생각해보죠. 문제가 학생들이 헷갈리도록 고의로 조잡한 시각적(?) 트릭을 활용하였지만, 결국은 이런 문제입니다. 우리는 f(x)를 생각하고 이것때문에 고민할 필요가 없습니다! 우리가 생각해야 할 함수는 오직 (t-1)f(t) 이며, 이 함수의 행동만 알면 - 그리고 그로부터 g(x)의 행동만 알아내면 - 모든 문제는 풀립니다. 이제 (t-1)f(t) 를 살펴보면,

(t-1)f(t) = 1-t (t < 1)
(t-1)f(t) = -(t-1)(t-2) (t ≥ 1)

을 만족합니다. 이 함수가 연속함수임은 아주 자명하게 확인할 수 있지요. 혹시 이 함수가 연속함수라는데 동의하지 않으시나요? t ≠ 1 인 영역에서 연속이라는 것은 분명히 동의하고 계실 테니, 문제의 소지가 있는 t = 1 에서의 연속성만 조사해보면 되겠군요. 한번 정의에 입각해서, 이 함수의 t = 1 에서의 (1) 함수값, (2) 우극한값, (3) 좌극한값이 모두 0임을 확인해보세요. 그러면 확신을 가지실 수 있습니다. 그리고 또한 새로운 사실을 하나 아실 수 있겠지요. '계단처럼 끊긴 곳에 저런 걸 곱해주면 연속으로 만들 수 있구나!' 뭐 딱히 대단한 관찰은 아닙니다만, 그래도 연속에 대한 감각이 약간은 늘어날 수도 있겠지요 -ㅁ-;;

그러면 g(x)는 연속함수의 정적분으로 정의된 함수이고, 이 함수는 미적분학의 기본 정리에 따라

(1) 미분 가능하며
(2) g'(x) = (x-1)f(x)

를 만족합니다. 그래서 ㄴ이 참이 됩니다. 나머지는 직접 계산을 해 보시면 알 수 있고, 실제로 질문하시지 않는 걸 보면 직접 계산하셔서 참거짓을 판별하는 데 성공하신 것 같네요. 그럼에도 불구하고 굳이 설명을 해 보겠습니다.

ㄱ. 구간 (1, 2)에서 g'(x) = (x-1)f(x) -(x-1)(x-2) = (x-1)(2-x) 입니다. 그런데 1 < x < 2 이죠? 그러면 x-1 과 2-x 가 모두 양수이고, 따라서 g'(x) > 0 입니다. 이는 g가 (1, 2)에서 증가함수임을 말해주지요. 따라서 참입니다.

ㄷ. g'(x)의 부호를 살펴봅시다. x < 1 이면 g'(x) = 1 - x > 0 입니다. 그리고 g'(1) = 0 이며, x > 1 이면 ㄱ을 참고하여 경우를 나눕시다. 1 < x < 2 이면 g'(x) > 0 이며, g'(2) = 0 입니다. 그리고 x > 2 이면 g'(x) < 0 이지요. 이 말은, g(x)의 그래프가 x = 2 에서 최대값을 가지며, x < 2 인 지점에서는 순증가하고, x > 2 인 지점에서는 순감조한다는 것을 뜻합니다. 뭉뚱그려 이야기하자면, 이 함수는 계속 솟구쳐서 (x = 2 에서) 최고점을 한 번 찍고, 그 다음에는 다시 아래로 곤두박질칩니다. 이런 함수의 그래프 y = f(x)가 x축과 평행한 어떤 선 (즉, y = k)을 3번 통과할 수 있을까요? 불가능하다는 것이 그림으로 이미 와닿지요? 그래서 거짓입니다.

수리 미적분 질문좀 받아주세요 !!!제발 ㅠㅠ

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