"이계도함수를 갖는다"의 의미...
게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00012239523
늦은 시간에 답변 주신 분들 감사합니다!
정리.
아래에 든 예시는 적분상수가 모두 0라 가정하면,
f''(x)에서 f'(x)와 f(x)를 모두 구할 수는 있지만,
구해놓은 f'(x)는 x=0에서 미분 불가능하기 때문에
처음의 f''(x)는 x=0에서 함숫값이 정의되지 않기 때문에
결국 아래의 예시는 이계도함수를 갖지않게 되네요.
결론은,
이계도함수를 갖는다
=> 도함수가 미분가능
=> 원함수가 미분가능
================================
'그냥 당연하게 원함수와 도함수가 미분가능하다'라고 생각하고 있었는데 갑자기 혼란이 오네요.
모든 실수 x에 대하여,
1.
이계도함수를 갖는다
=> f'(x)가 연속이다
=> f(x)가 미분가능하다
이계도함수를 갖는다 & 연속이다
=> f'(x)가 미분가능하다
=> f(x)가 미분가능하다
vs
2.
이계도함수를 갖는다
=> f'(x)가 x는 모든 실수에 대하여 미분 가능하다
=> f'(x)가 모든 실수에 대하여 미분계수를 갖는다
=> f''(x)가 연속이다
=> f'(x)가 미분가능하다
=> f(x)가 미분가능하다
만약 2번이 맞다면
예를들어,
f''(x)= -2 (x<0)
2 (x>=0)
f'(x)=-2x (x<0)
2x (x>=0)
f(x)= -x^2 (x<0)
x^2 (x>=0)
이 경우에도 모든 실수 x에 대하여 대응되는 이계도함수 값이 존재하는건데,
모든 실수 x에 대하여
'이계 도함수를 갖는다'와
'이계도함수가 존재한다'는
다른 의미로 사용되는건가요?
어떻게 해석하는게 맞는걸까요?
댓글로 1,2 둘 중 어느게 맞다고 생각하시는지,
그리고 그렇게 생각하시는 이유도 말씀해 주시면 감사하겠습니다!
귀찮으시면 참고할만한 책이나 링크 주셔도 좋아요!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
test 1 0
test
-
오르비문학 1화 0 0
오르비문학 1화
-
Test 0 0
Tetsteyey
-
수학 4등급만 받으면 2 0
쫀득하게 인서울 할 수 있는데
-
엘든링 왜 자꾸 멈추지 1 0
컴퓨터 좋은건데 씨발
-
목 졸라줘 5 1
켁켁켁 숨막혀 ㅜㅜ
-
시험지에 따라서 난이도가 가장 극단적으로 달라지는 번호같음....
-
개쉽게 풀리는데 이거 맞나
-
정시로 갑시다 8 0
내신반영을 노려서 내신 깡패 정시러
-
나왔어 12 0
다시감 근데 저게 왜 이륙햇냐
-
갑자기생각난썰 1 1
고1 2학기 학급회장선거때 후보가 2명이엇는데 그 친구들 둘이 합의하고 한명이...
-
그만하고 잘까 1 0
흐름이 끊겨버렷네
-
세기말 수능 1 1
2000학년도 대학수학능력시험
-
강은양t 0 0
현역 고3이고 작년까지 모고 3~4등급 나왔는데 지금부터 강은양t 들으려고 합니다....
-
2시열차 1 0
출발
-
지금 강민철 현강 다니고 있는데 저랑 너무 안맞는 느낌이 심하게 들어서...
-
뭘 해야하나요 0 0
이번에 고등학교 2학년 된 이공계 지망하는 지방 일반고학생입니다. 생기부를 제대로...
-
이게 오르비를 재밌게 오래하려면 10 4
수험생활을 지속해야 함
-
에ㅔㅔㅔㅔㅔㅔㄴ들리스레인ㄴㄴ 0 1
폴온마이헐트 코코로노 키즈니ㅣㅣㅣ
-
내 이상형 중단발에 속눈썹 1 0
-
우와 보추야동 많이떴다 2 2
보다자야지
-
심심한데 무물보 5 0
응애 나 아가학생
-
본인 물1 점수 꼬라지 0 1
3모 48점 (99) 5더프 47점인가였는데 시험이 어려웠어서 전국석차 30등쯤...
-
오후8시부터자다가깼더니 1 0
다시잠이안오네.. 비상..!!
-
생각나는구나
-
ㅇㄴ근데 0학점 패논패과목을 오ㅑㄹ케 빡세게시켜 0 0
그냥 좀 봐주면 안되나
-
-
시발점 한 다음 스블 0 0
고2이고대수 개념원리, 쎈, 고쟁이 했습니다개정 시발점 사놓은 게 있어서...
-
러셀 외부생 더프 성적표 0 0
문자로 발송되나요?? 아님 직접 찾으러 가야햐나요??
-
원래 사람은 별을 쫓아 달려갈 때 가장 빛나는 법이여설령 닿지 못할지라도적어도 내...
-
저걸 어케 함 진짜 와.. 원과목 중 생1만 수능공부로 안해봤는데 안하길잘한듯
-
시발 나 개폐급임 2 1
조별과제 하는족족 내것만 교수님 피드백 나오고 술처먹다 팀원들한테 자료 제출 개늦게하고 자퇴마렵다
-
딱 한 마디만 하고 자러감 9 3
미쿠 ㅈㄴ 예뻐어~~~~~~~~~~~~
-
중앙대 가기 59일차 3 1
안녕하세요 중앙대29학번 부산사나이 이동현입니다 음 오늘이 벌써 59일차군요...
-
이제 좀 자보실까 11 1
음음
-
리젠존나느리네 1 0
오르비망함?
-
너무멍청해짐 1 0
ㅜㅜㅜㅜㅜ
-
생윤 진짜 1도 모르는 쌩노베인데 누구 듣는 게 좋을가여
-
15살과 엄마 그 사이는 2 0
뭐라함 급함
-
대신 연세대 가겠다 선언
-
작년 10모 20번 0 0
이렇게 푸는거 맞나..?
-
-
위키하우 도움 ㅈㄴ 안되네 6 0
ㅗㅗㅗㅗㅗㅗ
-
새르비 할수록 4 0
헛소리가 늘어가는듯
-
아니 난 신라면 쳐돌이라 5 0
신라면만 먹는데….
-
-
내가사실은생명과학을좋아함 1 0
수능말고 그냥생명과학
-
. 11 1
-
님들 최애 과목 말해보셈 7 0
난 국어
-
님들 최애 라면 말해보셈 10 0
난 신라면
흠 그 아래 예시에서 x=0에서의 f"값은 존재하지 않는데요
답변 감사합니다
f'(x)를 기준으로 보면 미분 불가능하기 때문에 존재하지 않지만
f''(x)를 기준으로 보면 f''(0)=2로 존재한다고 볼 수 있지 않나요?
정의할때 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능할때를 상정하기때문에 0일때는 열린구간으로 취급해서 미분가능성을 따질수가없어영
안됨 f" x기준으로 해도 적분하면 적분상수가 c1 c2로 달라질수 있기때문에 f'x가 x=0에서 연속이라는 보장이없어여 c1=c2가 아닐수도 있자나여
그럼 적분상수가 같을 수도 있는건데
그렇게 따지면 f'(x)를 먼저 정해놓고 f''(x)를 따지기 때문에 정의되지 않는건가요?
적분상수가 같아도 f'은 x=0에서 미분 불가능하므로 f'' 의 값은 존재하지 않음.
기본적으로 R에서 주어진 도함수가 불연속인 함수가 존재하긴 하는데, lim(x->a-)f' 이나 lim(x->a+)f' 의 극한값이 존재하지 않아 불연속이 되는 경우는 존재해도,
극한 lim(x->a-)f'와 lim(x->a+)f' 이 모두 수렴하면서 동시에 다른 값을 취하는 경우는 절대로 나타날 수 없어요.
x=0에서 불연속함수를 적분한다는거 자체가 일단 적분된 함수는 x=0에서 무조건 미분 불가능 하다는거고 적분상수가 같으면 연속일수는 있음
그리고 교과서에서 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능할 때를 따짐
ㅇf'(x)가 0보다 크거나 같은곳에서 연속이고 0보다 큰곳에서 미분가능할때 f"(x)가 정의되어야함
네 이해됐어요 감사합니다!
이해됐어요 답변 감사합니다!
1번이 맞아요.
이계도함수가 존재한다는 것은 원함수와 도함수가 미분 가능하다는 것을 뜻합니다.
미분 가능한 함수는 연속함수이므로 f'은 미분 가능한 것이 당연합니다.
이급함수는 이계도함수가 연속인 함수이고 미분 가능한 함수의 도함수가 연속이라는 보장이 없기 때문에 이계도함수가 존재하는 함수라고 이급함수인 것은 아닙니다.
예시에 든 함수는 애초에 존재할 수 없는 함수입니다. (0,inf)와 (-inf.0)에서 미분가능한 꼴이고 x=0에서 미분 불가능하기 때문에 도함수는 x=0에서 정의되지 않죠.
도함수는 정의되지 않나요 다만 이계도함수가 정의되지 않는 예시인거같은데
아 식을 잘못봤네요. 도함수는 존재하고 이계도함수는 x=0에서 정의가 안되는게 맞습니다.
음.. 그럼 불연속인 함수는 불연속 지점에서 정의가 안된다고 생각해야하는건가요?
그게 아니라 f'이 x=0에서 미분불가능하므로 f''은 x=0에서 정의되시 않는다고 봐야함
그럼
f''(x)= -2(x<0)
2(x>=0)
은 이계도함수가 정의되지 않는다고 받아들이면 되고,
h(x)라는 함수가 있는데
h(x)= -2 (x<0)
2 (x>=0)
이렇게 되어있으면 괜찮은건가요?
이게 이계도함수라서 불연속이면 안되는건가요?
함수라는건 정의역과 공역이 주어지고 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 하나씩 대응되기만 하면 정의됩니다.
다만 f가 미분가능한 점에서만 f'의 값이 정의된다는걸 기억하면 되죠.
음 그럼 제가 든 예시는 함수로서의 이계도함수는 존재하지만
도함수 기준으로 보면 x=0에서 미분 불가능하기 때문에
x=0에서의 이계도함수값이 존재하지 않아
이계도함수를 갖는다고 생각할 수 없다
라고 생각하면 될까요?
f가 특정 구간에서 이계도함수를 갖는 것은 맞는데 f''이 x=0에서 정의되지는 않는다고 보면되죠
답변 감사합니다
그런데 f'(x)를 먼저 생각하고 그걸 미분해서 f''(x)를 생각해보면 미분계수가 존재하지 않지만
f''(x)만 보면 f''(0)=2로 존재하는거 아닌가요??
f''(0)=2라는게 f'(x)가 x=0에서 미분가능하고 미분계수가 2라는 뜻이에요.
f'이 x=0에서 미분불가능하니까 정의가 안되는게 맞죠
그럼 '이계도함수를 갖는다' 라는 의미는
단순히 'f''(x)가 존재한다' 라는 의미가 아니라
'도함수가 모든 실수에 대하여 이계도함수값을 갖는다'라고
생각하면 될까요?
굳이 실수전체일 필요는 없고 특정 구간에서 정의되기만 하면 됩니다.
네 이해됐어요! 늦은 새벽에 답변 감사합니다!
윗분 말이 맞아여 이계도함수가 존재한다는것은 도함수가 연속이고 미분가능하다는 소리지만 그것만으로 이계도함수가 연속이라는 것을 보장해주진 않음
이계도함수 데헿
???ㅋㅋㅋㅋㅋ
2번 에서 정의역의 모든 실수 x에 대하여 이계도함수를 갖는다면 2번에 쓴 말들이 전부 참입니다.
그런데 예시가 잘못 됐네요.
f(x)=-x^2 (x<0)
x^2 (x>=0)
이 함수의 경우 도함수를 표시할 때
f'(x) = -2x (x<0)
= 2x (x>=0)
이계도함수의 경우
f"(x) = -2 (x0)
라고 표시하는 것이 맞습니다. 도함수가 x=0에서는 미분불가능하기 때문에 불연속인 이계도함수를 가지기 때문에 애초에 예시로 든 함수가 "모든 실수 x에 대하여" 이계도함수를 갖는 함수가 아닌거죠.
결론은 2번도 맞고 이계도함수를 갖는다 = 이계도함수가 존재한다 똑같은 말이고요. 예시만 틀렸네용
뉴런 미적분1 theme13에 관련 내용이 살짝 나옵니다.
f"(x) = -2 (x<0)
= 2 (x>0)
네 이해됐어요 늦은 시간에 답변 감사합니다!
저도 헷갈리던건데 이따 읽어보게 지우지 말아주세요..!
결론이 뭔가요?? 저거 항상 궁금했네요
위에 결론 정리해놨어요ㅎ
이계도함수를 갖는다
=도함수원함수미분가능