정적분과 넓이

Question

흔히 사각형은 밑변x높이라고 하죠.

제가 생각하기에 저것은 딱히 수학적 의미를 지닌다고 할 수도 없고 그냥 비례관계를 나타낸 일종의 정의식이라고 생각됩니다

그리고 정적분,여기서 제가 말하는 정적분은 절댓값 기호를 씌운 값으로 부르겠습니다.

정적분으로 어떤 넓이를 구했다고 칩시다.

그 후 같은 넓이를 구분구적법으로 처음 말했던 사각형을 무한히 씌운 후 넓이를 계산해도 맞겠죠(다가가는 값)

하지만 애초에 사각형이 밑변^2×높이^2 이라면?물론 굳이 이렇게 정의를 내릴 필요는 없지만 만약 이렇다면?

그렇다면 구분구적법이 틀리게 될거같은데요.

제가 말하고 싶은 요지는 애초애 처음 사각형의 넓이를 저렇게 정의한 사람이 이런걸 다 염두해 두고 정했을까요?만약 아니라고 친다면 어떻게 그냥 정한 것일 뿐인데 이렇게 다 맞을까요?조금 오글거리는 표현이지만 신은 존재하고 신이 이미 다 만들어놓은 것이 아닐까요?물론 다른 맥락에서 제가 모르기 때문에 하는 소리지만요.

다들 어떻게 생각하시는지 궁금합니다

헤네시스 · Accepted Answer

해석학 배우면 그런거 합니다예를 들어 우리는 두 점 사이 거리를 sqrt(x^2+y^2) 라고 하지만, 그건 굉장히 특수한 케이스고두 점이 같으면 거리 0, 다르면 1 이라고 해버려도 딱히 모순이 생기거나 하진 않거든요구분구적 자체도 사실 밑변×넓이에 그 기초를 두고 있지 않나요님이 생각하는 그런 우주가 있다면 거기서는 또 다르게 정의될지도 모릅니다. 구분구적이 틀렸다기보다는요.그런거 보면 좌표라는 물건이 상당히 신기하긴 합니다.기하적 직관이, 함수식으로 증명되어 버리니까요.그러나 그것도, 해석기하 자체가 수많은 '직관' 들을 기초로 둔 상태에서 탄생했기 때문이 아닐런지요

마무리약점공략 · Answer

사각형의 넓이를 밑변x높이 로 정의한 상황이 시작점입니다. 이 시작점에서 정적분을 구분구적법으로 정의한 것이고, 질문자님 처럼 넓이를 정의하면 당연히 구분구적법이 들어맞지 않습니다. (시작점을 바꿨으니)

좀 더 자세히 말하면 구분구적법의 기본원리는 어떤 도형을 잘게 쪼갠 다음 다시 합쳐도 원래의 넓이와 같다는 것을 이용한 것입니다. 넓이를 밑변x높이로 정의하면 한변의 길이가 2인 정사각형을 4개의 정사각형으로 쪼갠다음 다시 합쳐도 넓이가 같지만 작성자님처럼 (밑변)^2(높이)^2 으로 정의해버리면 정사각형으로 쪼갠다음 다시 합칠 경우 넓이가 달라지기 때문에, 구분구적법이 들어맞지 않는게 당연한거죠.

정적분과 넓이

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