행렬 문제인데요(정오판정)

Question

AB=0

일때 A≠0 이면 B=0 이다 이건 틀린명제 잖아요??

이때

(A-E)(A+E)B=0

일때 B≠0 A≠E 이면 A=-E 이것도 틀린 명제라는데요 (해설지에 반례밖에 안써잇네요..ㅡㅡ;;)

그럼

ABC=0
일때
A≠0 B≠0 이면 C=0은 항상 틀린명제가 되는건가요??
아 문제를 만들어 본적이 없어서 조금 이상한데 여기서 A,B가 모든 행렬이 아니라요 예를들면 A=D+3E B=D-40E 막 이런식으로 제한이 걸려 있더라도..
그래도 항상 성립하나요??

이거 반례말고 증명식으로 어떻게 알 수 없을을까요?? 두번째랑 세번째것..

Yoonaul · Accepted Answer

항상 틀리다기보다, 전적으로 맞다고 할 수 없기에 옳지 않다고 하는 것이겠죠;;

예를 들어, 3차함수는 극값을 갖는다.
라는 명제가 있다고 했을 때, 반례가 있을 수 있듯이 이것도 마찬가지에요.
행렬에서는 실수와 달리 곱셈이 좀 다르니까요..

A,B,C가 각각 영행렬이 아니어도, ABC=0일 수 있습니다 물론요. 

반례말고 할 방법은 글쎄요.. 
일단 영인자가 되려면 각각 역행렬이 존재하지 않아야 하고, 역행렬이 없다면 각 행/열이 일정한 비를 갖음을 이용해서
간단하게 문자 몇개 쓰셔서 직접 해보셔도 괜찮고요..

Loz. · Answer

1번 2번 3번 모두 같은거에요
AB=0일 때 A≠0이면 B=0도 되고 B≠0 도 되니깐
B=0이다라고 확언을 했기에 잘못된 명제인거졈
2번 3번도 같은맥락이에요
B≠0 A≠E 일때 A=-E 일수도 있고 A≠-E일수도 있는데 A=-E라고 확언을 해버렸으니 틀린명제인거에요
1번의 경우 증명은.. 확실한지는 모르겠으나
A가 역행렬을 가지면 B는 무조건 0이 되버리지만
A가 역행렬을 가지지 않을 땐, 그런 A마다 항상 AB=0을 만족하는 0이 아닌 B가 존재하니까.. 이걸 이용하면 되지 않을까요

Loz. · Answer

1번 2번 3번 모두 같은거에요
AB=0일 때 A≠0이면 B=0도 되고 B≠0 도 되니깐
B=0이다라고 확언을 했기에 잘못된 명제인거졈
2번 3번도 같은맥락이에요
B≠0 A≠E 일때 A=-E 일수도 있고 A≠-E일수도 있는데 A=-E라고 확언을 해버렸으니 틀린명제인거에요
1번의 경우 증명은.. 확실한지는 모르겠으나
A가 역행렬을 가지면 B는 무조건 0이 되버리지만
A가 역행렬을 가지지 않을 땐, 그런 A마다 항상 AB=0을 만족하는 0이 아닌 B가 존재하니까.. 이걸 이용하면 되지 않을까요

생각이란큰나무 · Answer

기본적으로 0인자들은 역행렬이 존재 하지않습니다. 그쳐? 한행렬의 역행렬이 존재하면 다른 행렬은 0행렬이 되니까요. ^^ ABC=0일 때, BC를 하나의 행렬로 보시면 쉽게 이해 할 수 있지 않나 싶네요. 2번도 마찮가지고요.
일반적으로 (A+E)(A-2E)=0 일때, 오직 참인 내용은 A+E 또는 A-2E는 역행렬을 갖지 않는다 입니다.

행렬 문제인데요(정오판정)

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