다시 질문 - 역행렬 관련...

Question

kid님! 제가 질문을 잘못 썼네요 


이차정사각행렬 A =  a  b 
                              c  d 

에 대해서 

A^2 -(α +β)A + αβE=O 즉, (A-αE) X (A-βE)=0 이면 

A-αE 와 A-βE 의 역행렬은 존재하지 않나요??

에서 그저 A에 대한 이차방정식을 

분해했을 때 그 두 값의 역행렬이 존재하지 않는가를 물으려고 했던 거였는데

제가 a 와 b 를 구분하는 것을 잊고 써버렸네요..

다시 답변해주셨으면 합니다. 

감사합니다.

River­ · Accepted Answer

kid님은 아니지만.. (A-αE) X (A-βE)=0면 적어도 하나가 영행렬이면 나머지하나는 반드시 역행렬을 갖구요. 둘중 어느것도 영행렬이 아니라면 둘다 역행렬을 갖지않습니다.

Kid. · Answer

A²-(α +β)A+αβE=0 을 만족하는 이차정사각행렬A 이군요, 

원래 A의 고유방정식을 먼저 이끌어내야합니다. 케밀리-헤밀턴 정리를 이용하면 

A²-(a+d)A+(ad-bc)E=0 이란 식을 도출해 낼 수 있습니다. 

그렇다면 a+d=α+β , αβ=ad-bc 라는 조건을 도출해낼수있죠. (식이 복잡하네요 ㅠㅠ)

이 상태로 저번처럼 분류해 나가면 됍니다. 역시 편의상 A-αE=C,  A-βE=D 라고 둘게요

Kid. · Answer

1.> C=0 인경우 
 이경우 A=αE 입니다. ㅎ 그렇다면 A(a,b,c,d)=(α,0,0,α) 겟죠 그렇다면 a=d=α , b=c=0 입니다 ^^
위의 a+d=α+β , αβ=ad-bc 라는 조건에 이를 대입해보면 2α=α+β ,αβ=α² 입니다, 
 2α=α+β ,αβ=α²  를 만족하려면 α=β 여야 하기 때문에 α=β 입니다. 
 그렇다면  (A-αE)(A-βE)=(A-αE)²=0 이 되어 버리고 A-βE=D=C=0 이 되어버려서
 C=0 인경우 C=D=0 이 되어 둘다 역행렬이 존재하지 않습니다. 

2.> D=0인 경우
 이경우또한 A=βE입니다. 그렇다면 A(a,b,c,d)=(β,0,0,β) 겟죠 그렇다면 역시 a=d=β , b=c=0 입니다.
위의 a+d=α+β , αβ=ad-bc  라는 조건에 대입하면 2β=α+β , αβ=β² 입니다. 역시 이 방정식을 풀면 α=β가 도출되고

Kid. · Answer

C=0 인 경우와 마찬가지로 해보면 
 (A-αE)(A-βE)=(A-αE)²=0 이 성립되어 버리고 (A-βE)²=0 이 되어 C=D=0 이 되어서
 둘다 역행렬이 존재하지 않습니다.

3.> C,D 둘다 영인자의 경우 
 -> 계산할 필요없이 둘다 역행렬이 존재하지 않습니다.

 결론 : C,D는 역행렬이 어떠한 경우에도 존재하지 않는다

발로텔리멘탈 · Answer

ㅁㅁㅁ

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