미분에 대한 명제.
게시글 주소: https://dev.orbi.kr/0001033105
미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 f(x)가 x=a에서 극값을 가질때
f'(a) = 0 이다.
이게 참인 명제인가요?
그러니까 극값을 갖고도 f'(a)값이 존재하지 않는다거나 그럴수는 없나요...
또 궁금한거.
f'(x) = tanx라고 한다면 x=파이/2에서 미분계수가 존재하지 않잖아요. 그럼 미분불가능하겠죠?
그럼 원함수인 f(x)에서 x=파이/2에서 극값을 가지나요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오르비에서 상주하는 시간 ∝ 1/실제 수능 성적 0 1
진리다 줄치고 쫙쫙 외우자 ㅠㅠ
-
이거 되게 쩌는 말인듯 0 0
S급은 망해도 A급 정도는 해준다.무조건 지를때는 S급을 질러라어중간한 A급...
-
(수험생인데)수능 ㅂㅂ일 가능성이 더 크지 않냐?이제 9평도 치고-67일인데자기...
-
박주영ㅋㅋㅋㅋ 0 0
통수가 장사
-
근데 꼴블보소 0 0
아니 앞에 누가 좀 나가달라곸ㅋㅋㅋㅋ 봄쿠랑 추추 두명의 동양인들만 야구하네 ㅠㅜ
-
추추 페이스 요새 좋네 0 0
목표치 상향조정 해도 될듯 0.290-0.350-0.450-0.800호무랑은 13개정도만
-
아아 추추성님 지린닼ㅋㅋㅋ 0 0
2루타-워크오프 쓰리란-3루타-솔리런 ㅋㅋㅋㅋ 딸바보 추추
-
지구는 2 0
공기때문인지 유통기한이 있대 우리 얘기도 그래서 끝이 있나봐
-
넌 가르쳐 줄수 있을까~ 0 0
내 마음 도착했는지 네가 숨쉬는지
-
꼭 무슨 애니메이션 캐릭터가 기타치는걸 빨리감기한 느낌ㅋㅋㅋ가슴팍에 올려 매고 치는게 참 귀여움
-
그 뭐냐... 자우림 하면 0 0
딴곡들은 솔직히 난 좀 별로고 미안해 널 미워해이게 최고!인듯꼭 방송에서 해줬으면
-
개맥주 우승 가능가 0 0
못가능가 그레인키야 좀 만 잘하자...
-
ㅇㅇ 0 0
ㅇㅇ
-
흠... 0 0
요새 이런 저런걸 보고 읽으면서 느끼는 건데 밑바탕에 깔려있는 추잡한 모습을...
-
카사블랑카스 살 좀 빼야겠다 0 0
간지가 안나네 날카로운 턱선도 어디로 사라지고나잇살인가
-
외쳐 李李! 1 0
분식 안하고 잘 막았다 빠따 역전 ㄱㄱ
-
우선이형 떳다! 0 0
1승 ㄱㄱㄱ
-
ㄱ뫼ㅚ굳굳
-
아기네스 딘인데 진짜 이쁘당...약간 미소년삘도 나고또 얼굴에서 은근히 섹시함도...
-
가라 라헤삘나고 좋음
-
맥주야 1위좀 해라 1 0
왠지 1위하는거 보고싶다 ㅠㅠ
-
꼴츠버그 돋네 ㅋㅋㅋㅋ 0 0
nl중부 선둨ㅋㅋㅋㅋㅋ ㅋㅋㅋㅋ 매카친성님 진짜 쩌는듯
-
아 ㅡㅡ 2 0
스텟티즈 망함... 개크보 기록 여러모로 잘 볼수있던 유일한 곳이...
-
지누션 두 곡 0 0
아 진짜 쩐다...멋쟁이신사도테디甲
-
반도에서 0 0
힙합은 다 필요없고 페리 스톰앨범이 교과서 ㅇㅇ 아차 VJ도
-
지누션과 페리는 1 0
국내 음악사에 길이 남을 이름 holdin' down에서 프로디지는...후아 ㅋ
-
댓글은 4~5명이달고 1 0
조회수는 18임 ㅎㄷㄷ;;
-
멜론 가서 긁는 일만 남았다 근데 왜 2008년 앨범은 없을꼬
-
질풍가도 뒤1짐 3 0
개높아옄ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
백정 터지면 진짜 눈물날거같다 2 0
이렇게 빨아드렸는데ㅜㅜ 터지면 얼마나 기쁠까...솔직히 차우찬은 별로 안빨았지...
-
저푸른 초원위에~ 3 0
헿 못불러도 퍼포먼스로 커버 ><
-
호호호 0 0
All my life i've been fall- fall- falling...
-
허러러럴 1 0
7월 13일 정현이형 생일이었네... 오뎅탄신일만 기억하고 있었는데...
-
it's not the Fall that Hurts 1 0
쩐닼카카카캌카카카카카카카ㅏ카카캌ㅋ
-
스노우범님 매력쩖 ㅇㅇ 7 0
카톡 사진 인증이랑 다른데 매력쩔음
-
우리나라는 저런 밴드 하나 안나오나 큐ㅠㅠㅠ
-
하 0 0
스웨덴 밴드caesars라는 밴드를 알게됐는데쩐다대박스웨덴 밴드 죽이는 밴드 많은듯...
-
호옹이 0 0
ㅇㅇ
-
아 지짴ㅋㅋㅋㅋㅋ 0 0
모상기 전진형 동영상 계속 보게 되네... 양씨 오톳이랑 완전 똑같음ㅋㅋㅋㅋㅋ...
-
볼넷 피홈런이 줄고... 0 0
피안타율 피장타율도 줄고 so/bb는 더 좋아지고진짜 dramatic한 변화를 올해...
-
해해해해해멀스갑 1 0
올해도 WS 엠비피 먹었으면 좋겠다... 아니면 사이영
-
네셔널 중부 진짜 재밌을듯... 밀워키 세인트루이스 피츠버그 ㅋㅋㅋ
-
맥주 진짜 돌았네ㅋㅋㅋㅋ 0 0
채고의 마무리투수를 영입했습니다 여러분! 내년에 필더 나가고 어쩌고올해 쇼부 제대로...
-
쇼 삼성의 최형우 0 0
쇼 삼성의 최형우 넌 주인공 인거야 언제 까지나 영원히~
-
투런♡
-
형우신 사랑해요 0 0
만쉐
-
형우♥ 0 0
역전승♡
-
한화 LG한테 사기당함 ㅇㅇ 1 0
광수 쓰리런ㅋㅋㅋㅋ
-
안지만 장난하냐? 0 0
1이닝 3실점이 뭐야 돌았네 진짜지 분에 못이겨서 직구 꾸겨넣는거 보소
-
독반 이거 만든건 신의한수인듯 0 0
ㄲㄲㄲ 리얼좋은쪽으로든 나쁜쪽으로든신의한수
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다만,
미분 가능한 함수 f(x) 라면 x=a에서 극값을 가질 경우 항상 f'(a)=0 이어야 합니다.
그리고 아래 f'(x) = tanx 의 원시함수 f(x)=-ln|cosx|+C에서 x=π/2일 경우에는 정의되지 않음을 알 수 있습니다.
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않는다는건 알았었는데 미분가능하고 극값을 갖는거라아 조건을 헷갈렸네요. 근데 극값을 가질경우에 그 x값에서 미분계수가 0이라는 걸 어떻게 증명하나요. ㅜㅜ
정확한 표현은 저도 자신이 없네요.
미분가능한 함수 f(x)에 대해서 x=a에서 극값을 가지려면, x=a 근방에서 f(x)의 함숫값의 증감이 바뀌어야 하니,
f'(a)=0 일 수 밖에 없지 않은가... 라고 궁색한 대답을 해봅니다;;
저도 미분 헛공부했네요 ㅋㅋ
지금 읽어보고 생각난건데 중간값정리에 의해서 증명할수도잇겠다는 생각이드네요.. 증감을 경계로 도함수의 부호가 반대로 바뀌니까 적절한 구간을 잡아서? 근데 구간이라는걸 또 어떻게 적절하게 잡지.. 아 정말 이거 제대로 공부해야되는데..
'적절한 구간' 이라는 부분은 [a-δ, a+δ] 로 나타내고, (δ는 충분히 작은 실수값)
대학교에서는 이를 δ-ε 논법이라고 부른다고 주워 들은게 있어요.
극한에 대한 표현은 대개 이런 방법을 사용한다고 하네요.
고등학교 과정에서는 무리가 아닐까, 조심스럽게 언급해 봅니다.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극소이면 f'(a)=0임을 증명해 보겠습니다.
극소니까 x=a주위만 생각하면 그 부분에서 최소라고 할 수 있겠죠. 따라서
x가 a에 가까울 때
f(x)>f(a)라고 할 수 있습니다. 따라서
f(x)-f(a)>0
이고, x>a일 때는 { f(x)-f(a) } / (x-a) > 0, xa의 극한을 취하면 우미분계수는 0 이상, 좌미분계수는 0 이하라는 식을 얻는데,
위에서 f(x)가 x=a에서 미분가능하기 때문에, 좌미분계수=우미분계수=미분계수는 0일 수밖에 없죠.
극소를 "그 부분에서 최소"라고 생각하는 게 좀 더 논리적으로 탄탄하고, 대학교 공부에도 도움이 될 겁니다. 성지출판사 등의 교과서에서 이런 식으로 논리를 전개하고 있으니까, 참고해 보는 것도 괜찮겠죠.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극대일 경우에도 위와 같은 방법으로 하면 f'(a)=0을 얻습니다.
이 성질은 롤의 정리로 이어지고, 다시 평균값의 정리로 이어지는 중요한 성질이니까, 잘 기억해 두세요.
오 깊이있는 답변 감사합니다. 충분히 작은 양수 h에대하여 f(a+h)-f(a)/h 의 부호로 결정하는 것도 괜찮겠네요.
좌미분계수가 0이하, 우미분계수가 0이상이고 미분가능하다는 것이 극한값이 반드시 존재해야되기때문에 결국에는 미분계수가 0이되는것라고 거군요.
네, h를 이용해서 증명해도 결국은 같은 내용이지요~