미분에 대한 명제.
게시글 주소: https://dev.orbi.kr/0001033105
미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 f(x)가 x=a에서 극값을 가질때
f'(a) = 0 이다.
이게 참인 명제인가요?
그러니까 극값을 갖고도 f'(a)값이 존재하지 않는다거나 그럴수는 없나요...
또 궁금한거.
f'(x) = tanx라고 한다면 x=파이/2에서 미분계수가 존재하지 않잖아요. 그럼 미분불가능하겠죠?
그럼 원함수인 f(x)에서 x=파이/2에서 극값을 가지나요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수학 4등급만 받으면 2 0
쫀득하게 인서울 할 수 있는데
-
엘든링 왜 자꾸 멈추지 1 0
컴퓨터 좋은건데 씨발
-
목 졸라줘 5 1
켁켁켁 숨막혀 ㅜㅜ
-
시험지에 따라서 난이도가 가장 극단적으로 달라지는 번호같음....
-
개쉽게 풀리는데 이거 맞나
-
정시로 갑시다 8 0
내신반영을 노려서 내신 깡패 정시러
-
나왔어 12 0
다시감 근데 저게 왜 이륙햇냐
-
갑자기생각난썰 1 1
고1 2학기 학급회장선거때 후보가 2명이엇는데 그 친구들 둘이 합의하고 한명이...
-
그만하고 잘까 1 0
흐름이 끊겨버렷네
-
세기말 수능 1 1
2000학년도 대학수학능력시험
-
강은양t 0 0
현역 고3이고 작년까지 모고 3~4등급 나왔는데 지금부터 강은양t 들으려고 합니다....
-
2시열차 1 0
출발
-
지금 강민철 현강 다니고 있는데 저랑 너무 안맞는 느낌이 심하게 들어서...
-
뭘 해야하나요 0 0
이번에 고등학교 2학년 된 이공계 지망하는 지방 일반고학생입니다. 생기부를 제대로...
-
이게 오르비를 재밌게 오래하려면 10 4
수험생활을 지속해야 함
-
에ㅔㅔㅔㅔㅔㅔㄴ들리스레인ㄴㄴ 0 1
폴온마이헐트 코코로노 키즈니ㅣㅣㅣ
-
내 이상형 중단발에 속눈썹 1 0
-
우와 보추야동 많이떴다 2 2
보다자야지
-
심심한데 무물보 5 0
응애 나 아가학생
-
본인 물1 점수 꼬라지 0 1
3모 48점 (99) 5더프 47점인가였는데 시험이 어려웠어서 전국석차 30등쯤...
-
오후8시부터자다가깼더니 1 0
다시잠이안오네.. 비상..!!
-
생각나는구나
-
ㅇㄴ근데 0학점 패논패과목을 오ㅑㄹ케 빡세게시켜 0 0
그냥 좀 봐주면 안되나
-
-
시발점 한 다음 스블 0 0
고2이고대수 개념원리, 쎈, 고쟁이 했습니다개정 시발점 사놓은 게 있어서...
-
러셀 외부생 더프 성적표 0 0
문자로 발송되나요?? 아님 직접 찾으러 가야햐나요??
-
원래 사람은 별을 쫓아 달려갈 때 가장 빛나는 법이여설령 닿지 못할지라도적어도 내...
-
저걸 어케 함 진짜 와.. 원과목 중 생1만 수능공부로 안해봤는데 안하길잘한듯
-
시발 나 개폐급임 2 1
조별과제 하는족족 내것만 교수님 피드백 나오고 술처먹다 팀원들한테 자료 제출 개늦게하고 자퇴마렵다
-
딱 한 마디만 하고 자러감 9 3
미쿠 ㅈㄴ 예뻐어~~~~~~~~~~~~
-
중앙대 가기 59일차 3 1
안녕하세요 중앙대29학번 부산사나이 이동현입니다 음 오늘이 벌써 59일차군요...
-
이제 좀 자보실까 11 1
음음
-
리젠존나느리네 1 0
오르비망함?
-
너무멍청해짐 1 0
ㅜㅜㅜㅜㅜ
-
생윤 진짜 1도 모르는 쌩노베인데 누구 듣는 게 좋을가여
-
15살과 엄마 그 사이는 2 0
뭐라함 급함
-
대신 연세대 가겠다 선언
-
작년 10모 20번 0 0
이렇게 푸는거 맞나..?
-
-
위키하우 도움 ㅈㄴ 안되네 6 0
ㅗㅗㅗㅗㅗㅗ
-
새르비 할수록 4 0
헛소리가 늘어가는듯
-
아니 난 신라면 쳐돌이라 5 0
신라면만 먹는데….
-
-
내가사실은생명과학을좋아함 1 0
수능말고 그냥생명과학
-
. 11 1
-
님들 최애 과목 말해보셈 7 0
난 국어
-
님들 최애 라면 말해보셈 10 0
난 신라면
-
라면이랑 과자 안먹은지 6일차 2 0
후후
-
자지 버섯 4 0
나는 자연인이다에 나온 버섯입니다
-
통합사회 미녀 선생님 0 0
최성주 쌤 보고 의대 가겠습니다
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다만,
미분 가능한 함수 f(x) 라면 x=a에서 극값을 가질 경우 항상 f'(a)=0 이어야 합니다.
그리고 아래 f'(x) = tanx 의 원시함수 f(x)=-ln|cosx|+C에서 x=π/2일 경우에는 정의되지 않음을 알 수 있습니다.
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않는다는건 알았었는데 미분가능하고 극값을 갖는거라아 조건을 헷갈렸네요. 근데 극값을 가질경우에 그 x값에서 미분계수가 0이라는 걸 어떻게 증명하나요. ㅜㅜ
정확한 표현은 저도 자신이 없네요.
미분가능한 함수 f(x)에 대해서 x=a에서 극값을 가지려면, x=a 근방에서 f(x)의 함숫값의 증감이 바뀌어야 하니,
f'(a)=0 일 수 밖에 없지 않은가... 라고 궁색한 대답을 해봅니다;;
저도 미분 헛공부했네요 ㅋㅋ
지금 읽어보고 생각난건데 중간값정리에 의해서 증명할수도잇겠다는 생각이드네요.. 증감을 경계로 도함수의 부호가 반대로 바뀌니까 적절한 구간을 잡아서? 근데 구간이라는걸 또 어떻게 적절하게 잡지.. 아 정말 이거 제대로 공부해야되는데..
'적절한 구간' 이라는 부분은 [a-δ, a+δ] 로 나타내고, (δ는 충분히 작은 실수값)
대학교에서는 이를 δ-ε 논법이라고 부른다고 주워 들은게 있어요.
극한에 대한 표현은 대개 이런 방법을 사용한다고 하네요.
고등학교 과정에서는 무리가 아닐까, 조심스럽게 언급해 봅니다.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극소이면 f'(a)=0임을 증명해 보겠습니다.
극소니까 x=a주위만 생각하면 그 부분에서 최소라고 할 수 있겠죠. 따라서
x가 a에 가까울 때
f(x)>f(a)라고 할 수 있습니다. 따라서
f(x)-f(a)>0
이고, x>a일 때는 { f(x)-f(a) } / (x-a) > 0, xa의 극한을 취하면 우미분계수는 0 이상, 좌미분계수는 0 이하라는 식을 얻는데,
위에서 f(x)가 x=a에서 미분가능하기 때문에, 좌미분계수=우미분계수=미분계수는 0일 수밖에 없죠.
극소를 "그 부분에서 최소"라고 생각하는 게 좀 더 논리적으로 탄탄하고, 대학교 공부에도 도움이 될 겁니다. 성지출판사 등의 교과서에서 이런 식으로 논리를 전개하고 있으니까, 참고해 보는 것도 괜찮겠죠.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극대일 경우에도 위와 같은 방법으로 하면 f'(a)=0을 얻습니다.
이 성질은 롤의 정리로 이어지고, 다시 평균값의 정리로 이어지는 중요한 성질이니까, 잘 기억해 두세요.
오 깊이있는 답변 감사합니다. 충분히 작은 양수 h에대하여 f(a+h)-f(a)/h 의 부호로 결정하는 것도 괜찮겠네요.
좌미분계수가 0이하, 우미분계수가 0이상이고 미분가능하다는 것이 극한값이 반드시 존재해야되기때문에 결국에는 미분계수가 0이되는것라고 거군요.
네, h를 이용해서 증명해도 결국은 같은 내용이지요~