역행렬 관련 질문이요~

Question

이차정사각행렬 A =  a  b
                               c  d

에 대해서 

A^2 -(a+b)A + abE=O 즉, (A-aE) X (A-bE)=0 이면 

A-aE 와 A-bE 의 역행렬은 존재하지 않나요??

Kid. · Accepted Answer

편의상 A-aE=C, A-bE=D 로 놓겟습니다.

그리고 설명할때 행렬을 표시할경우 행렬F=(a11,a12,a21,a22)이런식으로 표시하겟습니다.

일단 , 직접 C,D행렬을 구합니다. 

A=(a,b,c,d)라고 햇으므로 C=(0,b,c,d-a) D=(a-b,b,c,d-b) 입니다.

그리고, CD=0입니다. 

그렇다면

Kid. · Answer

댓글이 내려가서 다시씁니다. 그렇다면 세가지 경우를 생각할수있는데,
1.C=0인경우, 
 -> 이경우 b=c=0, a=d 라는 정보를 얻습니다. 그렇다면 D=aE 가 되고 , C는 역행렬이 존재하지않고 D는역행렬이 존재합니다. (단,a≠0이어야 겟지요, 
a=0이면 D=aE=0이 되어 D도 역행렬이 존재하지 않게되죠.)
2.D=0인경우,
-> 이경우 a=b=c=d=0입니다, 그렇다면 C=D=0이 되고 C,D둘다 역행렬이 존재하지 않습니다.
3.C와D가 영인자인 경우
-> 영인자 이므로 둘다 역행렬이 존재하지 않습니다.

Kid. · Answer

C와 D행렬은 각각  A-aE=C, A-bE=D 엿으니 , 

 A-aE, A-bE 의 역행렬은 
1. A-aE의 경우 역행렬이 절대 존재하지않고
2. A-bE의 경우 A-aE=0 이고 a≠0인 경우만 역행렬이 존재합니다.

VAXYNZWE · Answer

반례하나 들고 끝낼게요
A=(1,0,0,1)
A(A-E)=0
but D(A)=1≠0

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